ตัวผกผันของความสัมพันธ์

บทนิยามของตัวผกผันของความสัมพันธ์

r คือความสัมพันธ์ซึ่งเกิดจากการสลับที่ของสมาชิตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังในแต่ละคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ r

หรือจะให้อธิบายง่ายๆคือ ตัวผกผัน หรือเรียกทับศัพท์ไดว่า Invest ก็ได้ครับ ทำได้โดยการสลับที่ โดเมน กับเรนจ์กันนั่นละครับ แค่นั้นเลย โดยความสัมพันธ์ที่ผกผันจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ r^-1 ครับ หรืออ่านว่า ตัวผกผันของความสัมพันธ์ r หรือ r invest ก็ได้ครับ

ตัวอย่างตัวผกผันของความสัมพันธ์ แบบแจกแจงสมาชิก

จงหาตัวผกผันของความสัมพันธ์ r พร้อมทั้งหาโดเมนและเรนจ์เมื่อกำหนดให้ r = {(1,1),(3,2),(1,3),(4,1),(0,-1)}

ถ้าเรามีความสัมพันธ์ r ต้องหาตัวผกผันของความสัมพันธ์ ก็ดำเนินได้โดยการ สลับที่โดเมนและเรจน์ของสมาชิกของความสัมพันธ์แต่ละตัวครับ

สมาชิก (1,1) โดเมน เป็น 1 เรนจ์ เป็น 1 สลับที่กัน จะได้เป็นคู่อันดับ (1,1)

สมาชิก (3,2) โดเมนเป้น 3 เรจน์ เป็น 2 สลับที่กัน จะได้เป็นคู่อันดับ (2,3)

สมาชิก (1,3) โดเมนเป้น 1 เรจน์ เป็น 3 สลับที่กัน จะได้เป็นคู่อันดับ (3,1)

สมาชิก (4,1) โดเมนเป้น 4 เรจน์ เป็น 1 สลับที่กัน จะได้เป็นคู่อันดับ (1,4)

สมาชิก (0,-1) สลับที่กัน จะได้เป็นคู่อันดับ (-1,0)

นำสมาชิกทั้งหมดกลับมาเขียนในรูปของความสัมพันธ์ก็จะได้

r^-1 = { (1,1),(2,3),(3,1),(1,4),(-1,0)}

แต่โจทย์ในข้อนี้ให้หาโดเมน และ เรนจ์ของตัวผกผันของความสัมพันธ์ r ด้วย

โดเมนของ คือสมาชิกตัวหน้าทั้งหมดของ ตัวผกผันของความสัมพันธ์ r จะได้แก่ = {1,2,3,-1}

เรนจ์ คือสมาชิกตัวหลังทั้งหมดของ ตัวผกผันของความสัมพันธ์ r จะได้แก่ = {1,3,4,0 }

นำมาเขียนอยู่ในรูปเซต ก็จะได้เป็นคำตอบ

หมายเหตุ : สมาชิกตัวที่ซ้ำ ไม่ต้องเขียนในเซต

ตัวอย่างตัวผกผันของความสัมพันธ์ แบบบอกเงื่อนไข

จงเขียนกราฟของ r และ r^-1 ในระบบพิกัดฉากเดียวกันเมื่อกำหนดให้ r = {(x,y) ∈ R x R | y = 2x + 1 }

ถ้าเราต้องการที่จะหาตัวผกผันของความสัมพันธ์ในข้อนี้ ซึ่งจะทำได้ทั้งหมด 2 วิธี

วิธีที่ 1 คือ การสลับ โดเมนและเรนจ์ ในคู่อันดับลักษณะเดิม จะได้เป็น

r^-1 = {(y,x) ∈ R x R | y = 2x + 1 }

ในวิธีการนี้เมื่อเราสลับให้ โดเมนเป็น y และเรนจ์เป็น x ต้องจัดรูปของเงื่อนไขใหม่ครับ โดยนิยมจัดสมการ ให้เรนจ์ หรือ x อยู่เพียงตัวเดียวเท่านั้น เพราะฉะนั้น จัดรูปสมการที่เป็นเงื่อนไข ให้ตัวแปร x อยู่เพียงตัวเดียว จะได้เป็น x = y-1 / 2 นั่นเอง จะได้ว่า

r^-1 = {(y,x) ∈ R x R | x = y-1/2} เป็นคำตอบในข้อนี้

วิธีนี้จะต้องทำทั้งหมด 2 กระบวนการ คือ 1 สลับที่ x,y ในคู่อันดับ และ 2 จัดรูปสมการให้เรจน์ อยู่เพียงตัวเดียว

ซึ่งในวิธีการที่หนึ่งนี้ เนื่องจากต้องตอบในรูปคู่อันดับ (y,x) และสมการที่ตอบ อยู่ในรูป x = บางอย่าง ซึ่งไม่ตรงกับความเคยชินที่เราทำมาโดยตลอดจึงไม่แนะนำให้ทำวิธีนี้เท่าไหร่ มีโอกาสที่จะผิดได้สูงมาก ดังนั้นเลยขอแนะนำวิธีที่ 2

วิธีที่ 2 คือการ สลับ x และ y ภายในเงื่อนไขได้เลยครับ

r^-1 = {(x,y) ∈ R x R | x = 2y + 1 }

และเหมือนเดิม นิยมจัดสมการให้เรนจ์หรือสำหรับวิธีนี้คือ y อยู่เพียงตัวเดียวเท่านั้น ให้จัดรูปเหมือนกลับมาให้ y อยู่ตัวเดียวเหมือนเดิม เมื่อจัดรูปจะได้ว่า

r^-1 = {(x,y) ∈ R x R | y = x – 1 / 2}

เป็นตัวผกผันของความสัมพันธ์ในข้อนี้นั่นเอง

**สำคัญ : สามารถตอบได้ทั้งสองคำตอบเลยครับ แต่แนะนำให้ควรสอบถามอาจารย์ผู้ให้คะแนนก่อนนะว่าตอบได้ทั้งสองรูปแบบ หรือ ตอบในรูปแบบไหน