คูณจำนวนเชิงซ้อน

การคูณจำนวนเชิงซ้อน

ในเรื่องของการคูณจำนวนเชิงซ้อนจะมีความพิเศษขึ้นมาหน่อยครับ เทคนิคคือให้เราพิจารณาคล้ายๆกับ การคูณพหุนาม ได้เลยครับ ใช้สมบัติการแจกแจงได้เลย คือต้องคูณกันให้ครับทุกตัวครับ

ตัวหน้าคูณตัวหน้า ตัวหน้าคูณตัวหลัง ตัวหลังคูณตัวหน้า ตัวหลังคูณตัวหลัง

ซึ่งผลลัพธ์ของการคูณจะได้ออกมาเป็น

ac + adi + bci + bdi²

จะเห็นว่า มี i² ซึ่งเราไม่นิยมเขียนตอบในรูปนี้ มักจะเขียนตอบอยู่ในรูปของ a+bi เพราะฉะนั้นจะต้องแปลงอยู่ในรูป a+bi จากนิยาม i²= -1 เพราะฉะนั้นพจน์สุดท้ายก็สามารถเขียนในรูปของ bd คูณ -1 หรือได้เท่ากับ -bd

เมื่อเราจัดการแปลงเรียบร้อยแล้วครับ พยายามจัดให้อยู่ในรูปของ a+bi เพื่อความสวยงามและเข้าให้เข้าใจง่ายขึ้น จัดกลุ่มกัน จำนวนจริงอยู่กับจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อนอยู่กับจำนวนเชิงซ้อน

จะได้ว่า เมื่อจำนวนเชิงซ้อน (a,b) คูณกับ (c,d) จะได้เท่ากับจำนวนจริงเป็น (ac -bd) และจำนวนเชิงซ้อนเป็น (ad +bc)i

ตัวอย่าง จงหาผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน 3 + 2i และ 1 – i

จำนวนเชิงซ้อน z1 = 3 + 2i ซึ่งมีส่วนจริงเป็น 3 และส่วนจินตภาพเป็น 2

และ z2 = 1 – i ซึ่งมีส่วนจริงเป็น 1 และส่วนจินตภาพเป็น -1

ใช้สมบัติการแจกแจง ต้องคูณกันให้ครับทุกตัว

ตัวหน้าคูณตัวหน้า 3 คูณกับ 1 จะได้เท่ากับ 3

ตัวหน้าคูณตัวหลัง 3 คูณกับ -1i จะได้เท่ากับ -3i

ตัวหลังคูณตัวหน้า 2i คูณกับ 1 จะได้เท่ากับ 2i

ตัวหลังคูณตัวหลัง 2i คูณกับ -1i จะได้เท่ากับ -2i²

หรือว่ะได้เท่ากับ 3 – 3i + 2i -2i²

เรานิยมตอบในรูปของ a+bi เพราะฉะนั้นทำการแปลง i² ก่อน

i² = -1 ครับ เลยเขียนใหม่ได้เป็น -2 คูณ -1 หรือเท่ากับ 2

จัดรูปกันสักนิดหนึ่งจะเห็นว่ามี มีส่วนจริงกับส่วนจินตภาพ ซึ่งเราสามารถใช้ความรู้เรื่องการจำนวนเชิงซ้อนมาใช้ได้เลย นั่นก็คือ

ส่วนจริงสามารถบวกส่วนจริงได้ และ ส่วนจินตภาพสามารถบวกส่วนจินตภาพได้

เพราะฉะนั้นจัดรูปออกมา ส่วนจริง 3 + 2 จะได้เท่ากับ 5 แล้วส่วนจินตภาพ -3i + 2i เท่ากับ -i

แสดงว่าจะได้จำนวนเชิงซ้อนออกมาเป็น 5 – i เป็นคำตอบในการคูณจำนวนเชิงซ้อนข้อนี้